[스크랩] 구장산술 구고편.

구장산술의 구고편은 피타고라스의 정리가 고대 동양에도 있었다 하여 상당히 유명한 것입니다. 그러데 제가 수학에 대해 잘 몰라, 수학적 해설은 못하고 단지 한문 해석만 하는 것이 아쉽군요.

해석 중에서 밑줄 친 것은 오류가 있을 수 있음을 나타낸 것이다.

한문 원문은 아래 링크를 참고하세요.

http://olivierbialais.free.fr/textes/jiuzhangsuanshu.php 

 

九 章 算 術 卷 第 九 

　 　 句 股(구고)

 

 

 

〔 一 〕 今有句三尺 ，股四尺，問爲弦幾何？ 지금 짧은 변(직각삼각형에서)이 3척이고, 긴 변이 4척이라면, 묻겠는데 빗변은 얼마인가. (** 1척 = 10촌, 1장 = 10척)

　 　 　 　 　 　 　 答曰 ： 五尺 。답은 5척이다.

〔 二 〕 今有弦五尺 ，句三尺 ， 問爲股幾何？ 지금 빗변이 5척이고, 짧은 변이 3척이면, 묻겠는데 긴 변은 얼마인가.

　 　 　 　 　 　 　 答曰 ： 四尺。답은 4척이다.

〔 三 〕 今有股四尺 ， 弦五尺 ， 問爲句幾何 ？ 지금 긴 변이 4척이고 빗변이   5척이면 묻노니 짧은 변은 몇 척인가.

　 　 　 　 　 　 　 答曰 ： 三尺 。 답은 3척이다.

　 　 　   句股術曰 ： 句股各自乘 ，竝，而開方除之， 即弦。

　 　 　又股自乘 ， 以減弦自乘 ， 其餘開方除之 ，即句 。

　 　 　又句自乘 ， 以減弦自乘 ， 其餘開方除之 ，即股 。

구고술은 이러하니, 짧은 변과 긴 변이 각자 자승(자기 수에 제곱)하여, 이를 더하여 루트를 한 결과가 즉 빗변이다. 또 긴 변이 자승하여, 이 값으로 빗변이 자승한 것에 빼어, 그 남은 값으로 루트를 하면 즉 짧은 변 값이다. 또 짧은 변이 자승하여, 이 값으로 빗변이 자승한 값에 빼어, 그 남은 값으로 루트를 하변 즉 긴 변 값이다.

〔 四 〕 今有圓材徑二尺五寸 ， 欲爲方版 ， 令厚七寸 。問廣幾何 ？ 지금 둥근 재목이 지름이 2척 5촌인데, 네모난 널빤지를 만들려고 하는데, 세로를 7촌으로 했을 때 가로는 얼마인가.

　 　 　 　 　 　 　 答曰 ： 二尺四寸 。 답은 2척 4촌이다.

　 　 　 　 　 術曰 ： 令徑二尺五寸自乘 ， 以七寸自乘減之 ， 其餘開方除之 ，即廣 。방법(공식)은 이러하다. 지름 2척 5촌을 자승하여, 이 값에서 세로 7촌을 자승한 것으로 빼어,  그 나머지를 루트를 하면 즉 가로 값이다.

〔 五 〕 今有木長二丈 ，圍之三尺。 葛生其下 ，纏木七周 ，上與木齊 。問葛長幾何？ 지금 길이가 2장이고 둘레가 3척인 나무가 있다. 칡넝쿨이 그 밑에서 자라 나무를 일곱 바퀴 얽어매고 그 끄트머리는 나무와 높이가 같다면, 칡넝쿨은 길이가 얼마인가.

　 　 　 　 　 　 　 答曰 ： 二丈九尺。 답은 2장 9척이다.

　 　 　 　 　 術曰： 以七周乘三尺爲股 ，木長爲句 ，爲之求弦 。 弦者 ，葛之長 。 방법은 이러하다. 일곱 바퀴로 3척에 곱하여 고(긴변)로 삼고, 나무는 구(짧은 변)로 삼아, 그렇게 하여 현(빗변)을 구한다. 현이 칡넝쿨의 길이다.

〔 六 〕 今有池方一丈 ， 葭生其中央 ， 出水一尺。 引葭赴岸 ， 適與岸齊。 問 水 深 、 葭 長 各 幾 何 ？ 지금 연못이 있는데 한 변이 1장인 정사각형 모양이다. 갈대가 그 한가운데에서 자라 연못 물 위로 나온 길이는 1척이다. 갈대를 잡아당겨 연못 둑에 닿게 하면 딱 연못 둑과 높이가 같아진다. 물 깊이와 갈대 길이는 각각 얼마인가.

　 　 　 　 　  答曰 ： 水深一丈二尺 ；  葭長一丈三尺。  답은 물 깊이는 1장 2척이고, 갈대 길이는 1장 3척이다.

　 　 　 　 　 術 曰 ： 半 池 方 自 乘 ， 以 出 水 一 尺 自 乘 ， 減之 ， 餘 ， 倍 出 水 除 之 ， 即 得 水 深 。 加 出 水 數 ， 得 葭 長 。방법은 연못 한 변의 길이를 반으로 나누어 자승하여, 이것을 물 위로 나온 길이 1척을 자승한 것으로 뺀 나머지를 물 위로 나온 길이를 곱절한 것으로 나누면 즉 물 깊이를 얻는다. 여기에 물 위로 나온 길이를 더하면 갈대 길이다. ( ((1/2)자승 - 0.1자승) / 0.1 x 2 = 물 깊이, 물 깊이 + 0.1 = 갈대 길이. ** 단위는 장)

 

 

 

〔 七 〕 今有立木 ，繫索其末， 委地三尺。引索卻行，去本八尺而索盡。問索長幾 何？ 지금 한 나무가 서있는데, 나무 꼭대기 끝에 줄을 매니, 땅에 닿고 3척이 남았다. 줄을 당겨 나무에서 뒤로 물러나니, 나무 밑동과 8척이 떨어진 곳에서 정확히 줄이 땅에 닿고 남는 것이 없게 됐다.  묻겠는데, 줄의 길이는 얼마인가.

　 　 　 　 　 　 　 答曰 ： 一丈二尺 、六分尺之一。 답은 1장 2척하고 1/6척이다.

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 去 本 自 乘 ， 令 如 委 數 而 一 ， 所 得， 加 委 地 數 而 半 之 ， 即 索 長

〔 八 〕 今有垣高一丈 。 倚 木 於 垣 ， 上 與 垣 齊 。 引 木 卻行 一 尺 ， 其 木 至 地 。 問 木 幾 何 ？지금 높이가 1장인 담이 있다고 가정하자. 나무를 담에 기대어 놓으니, 나무 위 끄트머리가 담의 높이와 같았다. 나무를 끌어당겨 1척을 물러나니, 나무가 땅에 딱 닿게 되었다. 나무의 길이는 얼마인가.

　 　 　 　 　 　 　 答 曰 ： 五 丈 五 寸 。답은 5장 5촌이다.

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 垣 高 十 尺 自 乘 ， 如 卻 行 尺 數 而 一， 所 得 ， 以 加 卻 行 尺 數 而 半 之 ， 即 木 長 數 。문제를 푸는 방법은 이러하다. 담 높이 10척을 자승하고, 만약 물러난 값(거리)이 1척이라면, 구할 값은 아까 나무 높이 자승한 것에 물러난 값을 더하여 이것을 나누면 된다. 이러면 즉 나무의 길이다.

 

〔 九 〕 今有圓材 ， 埋在壁中 ， 不知大小。 以鐻鐻之 ，深一寸 ，鐻道長一尺 。 問徑幾何 ？  지금 둥근 재목이 있는데, 벽 사이에 묻혀 있어 그 크기를 알 수 없다. 톱으로 그것을 조금 잘라 보니, 톱질한 깊이가 1촌이고, 톱질한 단면의 길이는 1척이었다. 묻겠는데, 재목의 지름은 얼마인가.

　 　 　答曰 ： 材徑二尺六寸。 답은 재목의 직경은 2척 6촌이다.

　 　 　術曰 ： 半鐻道自乘 ，如深寸而一， 以深寸增之，即材徑。방법은 톱질한 단면의 길이를 제곱하고, 자른 깊이의 길이가 1촌이라면, 자른 깊이로 자른 단면 길이에 더해 준다. 그러면 즉 그것이 재목의 직경이다.

 

〔 一 ０ 〕 今 有 開 門 去 閫 一 尺 ， 不 合 二 寸 。 問 門 廣 幾 何？

　 　 　 　 　 　 　 答 曰 ： 一 丈 一 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 去 閫 一 尺 自 乘 ， 所 得 ， 以 不 合 二寸 半 之 而 一 ， 所 得 ， 增 不 合 之 半 ， 即 得 門 廣 。

〔 一 一 〕 今有戶高多於廣六尺八寸 ， 兩隅相去適一丈。 問戶高 、廣各幾何？  지금 지게문이 있는데 높이 길이가 너비 길이보다 6척 8촌이 길다. 두 귀퉁이 대각 사이의 거리는 정확히 1장이다. 묻겠는데 지게문의 높이와 너비는 각자 얼마인가.

　 　 　 　      答 曰 ：  廣 二 尺 八 寸 ； 高 九 尺 六 寸 。 답은 너비는 2척 8촌이고, 높이는 9척 8촌이다.

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 一 丈 自 乘 爲 實 。 半 相 多 ， 令 自 乘， 倍 之 ， 減 實 ， 半 其 餘 。 以 開 方 除 之 ， 所 得 ， 減 相 多 之半 ， 即 戶 廣 。 加 相 多 之 半 ， 即 戶 高 。방법은 이러하다. 두 귀퉁이 사이의 거리 1장(10척)을 자승하여 실(實, 피감수)로 삼는다. 차이(높이에서 너비를 뺀 것)를 반으로 나누어 자승하고, 이것을 배로 곱하고, 이 값을 실(實)에서 빼어, 남은 값을 반으로 나눈다. 이것을 루트한 값을 구하고, 지금까지 얻은 값에 차이의 반을 빼면 즉 지게문의 너비이고, 차이의 반을 더하면 즉 지게문의 높이이다.

 〔 一 二 〕 今有戶不知高廣，竿不知長短。橫之不出四尺 ，從之不出二尺，邪之適出 。 問戶高、廣、袤各幾何? (*袤는 衣+矛(길이 무) 지금 지게문이 있는데, 그 높이와 너비를 알 수 없고,  또 장대가 있는데, 그 길이를 알 수 없다. 장대를 가로로 놓으면 지게문 너비가 장대보다 4척 모자라고, 장대를 세로로 하면 지게문 높이가 장대보다 2척 모자라고, 장대를 비스듬히 대각으로 하면 장대와 지게문 길이가 같아진다. 지게문의 높이, 너비와 대각은 얼마인가.

　 　 　 　 　 答曰 ： 廣六尺，高八尺，袤一丈。 답은 너비는 6척이고, 높이는 8척이고, 대각은 1장이다.

　 　 　 　 　 術曰 : 從、橫不出相乘，倍，而開方除之。所得加從不出即戶廣，加橫不出即戶高，兩不出加之，得戶袤。방법은 지게문의 세로와 가로 길이가 장대보다 모자란 길이를 서로 서로 곱하고, 여기에 2를 곱하고, 이것을 루트를 씌운다. 지금까지 구한 값에 지게문 세로의 모자란 값을 더하면 즉 지게문의 너비가 되고, 지게문 가로의 모자란 값을 더하면 즉 지게문의 높이이고, 지게문 가로와 세로의 모자란 값을 더하면 즉 지게문 대각의 길이이다.

 

 

〔 一 三 〕 今 有 竹 高 一 丈 ， 末 折 抵 地 ， 去 本 三 尺 。 問 折者 高 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 答 曰 ： 四 尺 、 二 十 分 尺 之 十 一 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 去 本 自 乘 ， 令 如 高 而 一 ， 所 得 ，以 減 竹 高 而 半 其 餘 ， 即 折 者 之 高 也 。

 

〔 一 四 〕 今 有 二 人 同 所 立 。 甲 行 率 七 ， 乙 行 率 三 。 乙東 行 。 甲 南 行 十 步 而 邪 東 北 與 乙 會 。 問 甲 乙 行 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：

　 　 　 　 　 　 　 乙 東 行 一 十 步 半 ；

　 　 　 　 　 　 　 甲 邪 行 一 十 四 步 半 及 之 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 七 自 乘 ， 三 亦 自 乘 ， 并 而 半 之 ，以 為 甲 邪 行 率 。 邪 行 率 減 於 七 自 乘 ， 餘 為 南 行 率 。 以 三乘 七 為 乙 東 行 率 。 置 南 行 十 步 ， 以 甲 邪 行 率 乘 之 ， 副 置十 步 ， 以 乙 東 行 率 乘 之 ， 各 自 為 實 。 實 如 南 行 率 而 一 ，各 得 行 數 。

 

〔 一 五 〕 今 有 句 五 步 ， 股 十 二 步 。 問 句 中 容 方 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 方 三 步 、 十 七 分 步 之 九 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 并 句 、 股 為 法 ， 句 股 相 乘 為 實 ， 實如 法 而 一 ， 得 方 一 步 。

 

〔 一 六 〕 今 有 句 八 步 ， 股 十 五 步 。 問 句 中 容 圓 ， 徑 幾何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 六 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 八 步 為 句 ， 十 五 步 為 股 ， 為 之 求 弦。 三 位 并 之 為 法 ， 以 句 乘 股 ， 倍 之 為 實 。 實 如 法 得 徑 一步 。

〔 一 七 〕 今 有 邑 方 二 百 步 ， 各 中 開 門 。 出 東 門 十 五 步有 木 。 問 出 南 門 幾 何 步 而 見 木 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 六 百 六 十 六 步 、 太 半 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 出 東 門 步 數 為 法 ， 半 邑 方 自 乘 為 實， 實 如 法 得 一 步 。

〔 一 八 〕 今 有 邑 ， 東 西 七 里 ， 南 北 九 里 ， 各 中 開 門 。出 東 門 十 五 里 有 木 。 問 出 南 門 幾 何 步 而 見 木 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 百 一 十 五 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 東 門 南 至 隅 步 數 ， 以 乘 南 門 東 至 隅步 數 為 實 。 以 木 去 門 步 數 為 法 。 實 如 法 而 一 。

〔 一 九 〕 今 有 邑 方 不 知 大 小 ， 各 中 開 門 。 出 北 門 三 十步 有 木 ， 出 西 門 七 百 五 十 步 見 木 。 問 邑 方 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 里 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 兩 出 門 步 數 相 乘 ， 因 而 四 之 ， 為實 。 開 方 除 之 ， 即 得 邑 方 。

〔 二 ０ 〕 今 有 邑 方 不 知 大 小 ， 各 中 開 門 。 出 北 門 二 十步 有 木 。 出 南 門 十 四 步 ， 折 而 西 行 一 千 七 百 七 十 五 步 見木 。 問 邑 方 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 二 百 五 十 步 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 以 出 北 門 步 數 乘 西 行 步 數 ， 倍 之 ，為 實 。 并 出 南 門 步 數 為 從 法 ， 開 方 除 之 ， 即 邑 方 。

〔 二 一 〕 今 有 邑 方 十 里 ， 各 中 開 門 。 甲 乙 俱 從 邑 中 央而 出 。 乙 東 出 ； 甲 南 出 ， 出 門 不 知 步 數 ， 邪 向 東 北 磨 邑， 適 與 乙 會 。 率 甲 行 五 ， 乙 行 三 。 問 甲 、 乙 行 各 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ：

　 　 　 　 　 　 　 甲 出 南 門 八 百 步 ， 邪 東 北 行 四 千 八 百八 十 七 步 半 ， 及 乙 。

　 　 　 　 　 　 　 乙 東 行 四 千 三 百 一 十 二 步 半 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 五 自 乘 ， 三 亦 自 乘 ， 并 而 半 之 ，為 邪 行 率 。 邪 行 率 減 於 五 自 乘 者 ， 餘 ， 為 南 行 率 。 以 三乘 五 ， 為 乙 東 行 率 。 置 邑 方 半 之 ， 以 南 行 率 乘 之 ， 如 東行 率 而 一 ， 即 得 出 南 門 步 數 。 以 增 邑 方 半 ， 即 南 行 。 置南 行 步 求 弦 者 ， 以 邪 行 率 乘 之 ， 求 東 者 以 東 行 率 乘 之 ，各 自 為 實 。 實 如 南 行 率 得 一 步 。

〔 二 二 〕 有 木 去 人 不 知 遠 近 。 立 四 表 ， 相 去 各 一 丈 ，令 左 兩 表 與 所 望 參 相 直 。 從 後 右 表 望 之 ， 入 前 右 表 三 寸。 問 木 去 人 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 十 三 丈 三 尺 三 寸 、 少 半 寸 。

　 　 　 　 　 術 曰 ： 令 一 丈 自 乘 為 實 ， 以 三 寸 為 法 ， 實如 法 而 一 。

 

〔 二 三 〕 有 山 居 木 西 ， 不 知 其 高 。 山 去 木 五 十 三 里 ，木 高 九 丈 五 尺 。 人 立 木 東 三 里 ， 望 木 末 適 與 山 峰 斜 平 。人 目 高 七 尺 。 問 山 高 幾 何 ？ 23) 산이 나무의 서쪽에 있는데, 그 높이를 모른다. 산과 나무의 거리는 53리(里)이고, 나무의 높이는 9장(丈) 5척(尺)이다. 사람이 나무의 동쪽으로 3리(里) 떨어져 서서, 나무의 꼭대기 끝을 바라보니 정확히 산의 봉우리와 기울기가 평행하였다.(사람의 눈과 나무의 끝과 산의 봉우리가 정확히 일직선을 이룸을 말함.) 사람의 눈 높이는 7척(尺)이다. 묻겠는데, 산의 높이는 얼마인가?

　 　 　 　 　 　 　

答 曰 ： 一 百 六 十 四 丈 九 尺 六 寸 、 太 半寸 。 답은 164장 9척 6촌으로, 반촌(5촌)이 넘는다.

　 　 　 　 　 術 曰 ： 置 木 高 減 人 目 高 七 尺 ， 餘 ， 以 乘 五十 三 里 爲 實 。 以 人 去 木 三 里 爲 法 。 實 如 法 而 一 ， 所 得 ，加 木 高 即 山 高 。 푸는 방법은 이러하다. 나무 높이(95尺)에서 사람의 눈높이 7척(尺)을 빼고, 뺀 나머지(95척-7척=88척)와 53리(里)를 곱하여 실(實(피제수))로 삼는다. 사람과 나무의 거리 3리를 법(法(제수))으로 삼는다. 실(實)과 법(法) 값이 같으면 1이 된다. 구한 값에 나무의 높이를 더하면 곧 산의 높이다. (약식: (95-7) x 53 / 3 + 95 = 1649.6666... 단위는 尺임)

〔 二 四 〕 今 有 井 徑 五 尺 ， 不 知 其 深 。 立 五 尺 木 於 井 上， 從 木 末 望 水 岸 ， 入 徑 四 寸 。 問 井 深 幾 何 ？ 24) 지금 우물이 지름 5척(尺) 짜리가 있는데, 그 깊이를 모른다. 5척(尺)의 나무를 우물 테두리 위에 세우고, 그 세운 나무 끝 지점에서 (대각점에 위치한) 우물 바닥 기슭(우물 바닥과 우물 벽의 경계 지점)을 보니, 입경(入徑, 나무 안으로 들어가 보이는(입사각과 비슷한 개념) 전체 우물 지름 중의 일부 지름)은 4촌(寸)이었다. 묻겠는데, 우물의 깊이는 얼마인가.

　 　 　 　 　 　 　 答 曰 ： 五 丈 七 尺 五 寸 。 답은 5丈 7尺 5寸이다.

　 　 　 　 　 術 曰 ： 置 井 徑 五 尺 ， 以 入 徑 四 寸 減 之 ， 餘， 以 乘 立 木 五 尺 爲 實 。 以 入 徑 四 寸 爲 法 。 實 如 法 得 一 寸。방법은 이와 같다. 우물의 지름 5尺을 우선 두고, 여기에  입경(入徑) 길이 4寸을 뺀다. 뺀 나머지(5척 - 0.4척)에 세운 나무 길이 5尺을 곱하여 실(實(피제수))로 삼고, 입경(入徑) 길이 4寸을 법(法(제수))으로 삼는다. 실(實)이 법(法)과 같으면 1寸이다.  (공식: (5 - 0.4) x 5 / 0.4 = 57.5  단위는 尺임)

출처 : 한문을 알자

글쓴이 : wordair 원글보기

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